fakeroot,#math,#programming 指数が有理数

指数が有理数とはどういう意味か？これまでとりあえず「覚える」ってことでやりすごしてきたけ吉田武の「虚数の情緒」に解説。まず指数法則のおさらい、

$a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$
$(a^{m})^{n} = a^{m\times n}$

ここで、 $m,n$ は整数であり、

$a^{-m} = \frac{1}{a^{m}}$
$a^{0} = 1$

である。このとき $a^{1} = a$ であるが、 $1 = \frac{2}{2}$ として考え上記指数法則を適用すると

$a = a^{\frac{2}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^{2}$

となる。このとき最後の（）の中身に注目するとこれは2乗して $a$ になる数つまり $a$ の平方根 $\sqrt{a}$ にほかならない。つまり、

$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$

である。

ほんと吉田氏の本は面白い。

指数が有理数