その理屈、証明できますか

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その理屈、証明できますか

予想2  nが1より大きな整数で、かつnが素数でなければ2^{n}-1は素数でない

nは素数ではないので、a < n,b < n かつ n = ab となる２つの正の整数a,bが存在する。x=2^{b}-1,y=1+2^{b}+2^{2b}+\cdots+2^{(a-1)b}とする。そのとき次のとおり。

    \begin{eqnarray*} xy&=&(2^{b}-1)\cdot(1+2^{b}+\cdots+2^{(a-1)b) \\ &=& 2^{b}\cdot(1+2^{b}+\cdots+2^{(a-1)b}) - (1+2^{b}+\cdots+2^{(a-1)b}) \\ &=& (2^{b}+2^{b}+2^{3b}+\cdots+2^{(a-1)b}) - (1+2^{b}+2^{b}+\cdots+2^{(a-1)b}) \\ &=& 2^{ab-1} \\ &=& 2^{n}-1 \end{eqnarray*}

下の展開式はいいとしても、そもそもy=\cdotsの式の立て方というか突如出現したかに見えるこの式の存在。これが僕のような凡人には理解できないところ。この式がなぜ・どういう思考回路を経て出現したのか？そこがわからないと「証明は難しい」のまま終わってしまう。そのあたりは後々の章であきらかになるのかな？とりあえず、期待して読み進む。