数学ができる人の思考法（問題12）

Posted 2016-12-30 by kztkym

$\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}$ である。これを踏まえて、 $0.\dot{8}5714\dot{2}$ を既約分数で表せ

$0.\dot{8}5714\dot{2}=X$ とおき、1000000倍して小数部を取る。

$1000000\times X - X = 999999X = 857142$

$\begin{eqnarray*} 999999X &=& 857142 \\ X &=& \frac{857142}{999999} \\ &=& \frac{6}{7} \end{eqnarray*}$

これは、解き方を知っていたのでできたのだが、約分するのに電卓使ったので反則か？解答はもっとクールだった。というか、この解法では全然「これを踏まえて」ないのでダメですね。約分も難しい（電卓使いました）し。

模範解答は、 $\frac{1}{7}\times 1000 = 142.\dot{8}5714\dot{2}$ としておいて、

$\begin{eqnarray*} \frac{1000}{7}&=&142+0.\dot{8}5714\dot{2} \\ 0.\dot{8}5714\dot{2} &=& \frac{1000}{7} - 142 \\ &=& \frac{6}{7} \end{eqnarray*}$

しかし、約分するときが気がついたんだけど、 $999999\div 7 = 142857$ 、面白いな。

数学ができる人の思考法（問題13）

Posted 2016-12-16 by kztkym

図のように長方形ABCDと正方形PQRSが辺を共有して接している。AS=12、CQ=9であるとき長方形ABCDの周の長さを求めよ。

辺 $PS=QR=x$ とおくと、 $AP=12-x$ 、 $RC=SD=9-x$ であるから辺ADは

$\begin{eqnarray*} AD &=&(12-x)+x+(9-x) \\ &=& 21-x \end{eqnarray*}$

また、 $PSQR$ は正方形であるので $AB=x$ である。したがって、 $ABCD$ の周の長さは$

$\begin{eqnarray*} ABCD &=& 2(21-x)+2x \\ &=& 42-2x+2x \\ &=& 42 \end{eqnarray*}$

結構面白い問題でした。一応、ヒントなしで解けました。

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数列の問題

Posted 2016-12-06 by kztkym

ある規則でならぶ下記の数列

$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4}\cdots$

の80番目までの和を求めよ。

分母毎のグループの個数に注目すると、 $1,2,3,4,\cdots$ であるので、分母が $4$ の最後（ $\frac{4}{4}$ ）は数列の10番目（ $1+2+3+4=10$ ）であることがわかる。同様に、 $1+2+3+\cdots +12=78$ であるから数列の78番目は $\frac{12}{12}$ 、79番目は $\frac{1}{13}$ 、80番目は $\frac{2}{13}$ である。

したがって、求める数列の和は $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\cdots +\frac{11}{12}+\frac{12}{12}+\frac{1}{13}+\frac{2}{13}$ である。この数列を分母毎にグループにまとめると

$1+1\frac{1}{2}+2+2\frac{1}{2}+\cdots 6\frac{1}{2}+\frac{1}{13}+\frac{2}{13}$

の公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列となる。したがって80番目までの和は、上記数列の12番目までの和に $\frac{3}{13}$ を加えたものである。

ゆえに、80番目までの数列の和

$\begin{eqnarray*} S_{80}&=&\frac{12(1+6\frac{1}{2})}{2}+\frac{2}{13} \\ &=& 45 + \frac{2}{13} \\ &=& 45\frac{2}{13} \\ \end{eqnarray*}$

となる。

誤差について学ぼう

Posted 2016-11-05 by kztkym

「やさしい応用情報処理技術者講座」にややこしいのが、解りやすくまとめてあったのを写経。

丸め誤差

数値を有効桁数にする際の誤差。例えば $0.5 _{10}$ は $0.1 _{2}$ として表現できるが $0.1 _{10}$ は $0.0001100110011\cdot _{2}$ となり循環するためこのまま表現することができない。つまり、正確に $0.1 _{10}$ をあらわすことができない

打ち切り誤差

計算を途中で打ち切ることにより生じる誤差。例えば方程式の解を求める際に計算を途中で打ち切って解の近似値を得る場合などを言う

けた落ち

絶対値がほぼ等しい２数を計算するとき有効数字（有効桁数）が減ってしまうことを言う。例えば、 $1258.2 - 1258.1 = 0.1$ は有効数字が５桁から１桁にけた落ちしている。

情報落ち

絶対値の大きな数値と絶対値の小さな数値を演算したとき小さな値のけたの情報が落ちてしまうこと。例えば有効桁を４桁として $1234\times 10^{1} + 1234\times 10^{-4}$ を計算するとき２つの指数の桁を揃える必要があるが、このとき小さな数値が有効桁数に収まらなくなってしまい情報落ちが発生する。（ $1234 \times 10^{1} + 0.01234\times 10^{1}$ ）

オーバーフロー

絶対値が大きいため、一定のビット数で表現できる範囲を超えてしまうこと。例えば $156383 _{10}$ は8ビットでは表現することができない。

アンダーフロー

絶対値が小さいため表現できなくなること。例えば $0.000000000235 _{10}$ は8ビット固定小数点では表現することができない。

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2の補数

Posted 2016-10-26 by kztkym

2の補数を使って加算演算する場合、

計算結果もまた2の補数として表現される
最上位のビットが桁上がりする場合はそれを無視する
計算結果が表現可能な範囲に収まらない場合もある（オーバーフロー）

２の補数表現について、 $n$ ビットで表現可能な範囲は、 $-(2^{n-1})$ 〜 $2^{n-1}$ となる。例えば $n=4$ のとき $-3_{10} + -5_{10} = 1101_{2} + 1011_{2} = 1000_{2} = -8_{10}$ でOKだが、 $-4_{10} + -5_{10} = 1100_{2} + 1011_{2} = 0111_{2} \neq 7_{10}$ となってしまう。

浮動小数形式

Posted 2016-10-25 by kztkym

単精度（32Bit）の場合

符号(1bit) + 指数部(8bit) + 仮数部(23bit)

で表現する。

符号(s): 正の値なら $s=0$ 、負の値なら $s=1$ として $(-1)^{s}$ を取る
指数部(e): 実際の値にバイアス値127を加算した値。8Bitなので0∼255表現できるが、負の場合にも対応するため-127∼128とする。
仮数部: 指数を調整するため、小数点を移動して1.***の形式に変換した数

たとえば $13.25_{10} = 1101.01_{2}$ は $1.10101\times 2^{3}$ であるから、浮動小数形式形式では符号は0、指数部は $127_{10} + 3_{10} = 130_{10} = 10000010_{2}$ 、仮数部は $10101000000000000000000_{2}$ （23ビットになるようゼロを埋める）となり、つまり $|0|10000010|10101000000000000000000|$ と表現される。