fakeroot,#math,#programming 同値類・商集合

集合 $\mathbf{X}$ の元 $x,y$ の間に、関係 $\mathbf{R}$ があるとき

$x\sim y$

と書く。関係 $\mthbf{R}$ が次の3つの条件を満たすとき同値関係という。

$\forall x\in\mathbf{X},x\sim x$ （反射）
$\forall x,y \in\mathbf{X},x\sim y\Rightarrow y\sim x$ （対称）
$\forall x,y,z \in\mathbf{X},x\sim y\wedge y\sim z \Rightarrow x\sim z$ （推移）

また、このとき $x\sim y$ は $x$ と $y$ は $\sim$ について同値という（中略）一つの集合を同値類に分けるとは、一定の基準によっていくつかの小集団（部分集合）に分割することに過ぎません。その際の小集団への分割のルールが「同値関係」であり、分割されて得られた一つ一つの小集団が「同値類」です。