大学新入生のための「数学入門」２章まとめ

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大学新入生のための「数学入門」第２章　関数とグラフ。グラフ電卓であっさり作図していたらなにも覚えられない。

作図のための基本型y=a(x-p)^{2}+qに持ち込むための平方完成から。

平方完成

    \begin{eqnarray*} ax^{2}+bx+c\;\;(a\neq 0) &=& a(x^{2}+\frac{b}{a}x)+c\\ &=& a\{(x+\frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2}\}+c\\ &=& a(x+\frac{b}{2a})^{2}-a(\frac{b}{2a})^{2}+c\\ &=& a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^{2}}{4ab}+c \end{eqnarray*}

この変形で(p,q) = (\frac{b}{2a},-a(\frac{b}{2a})^{2}+c)として頂点が定まる。また、a<0のとき上に向かって凸、a>0の時、下に向かって凸の放物線となる。

1次方程式なら直線、2次方程式なら放物線、2次方程式の放物線をy = xについて対称に移すとy = \pm\sqrt{x}のグラフとなる。

円の方程式

中心が原点O(0,0)で半径rの円の方程式は

    \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} &=& r^{2}\\ y^{2} &=& r^{2} - x^{2}\\ y &=& \pm\sqrt{r^{2}-x^{2}} \end{eqnarray*}

このグラフをx軸方向にp、y軸方向にq並行移動させると、

    \begin{eqnarray*} (x-p)^{2} + (y-q)^{2}=r^{2} \end{eqnarray*}

中心(p,q)、半径rの円の方程式となる。

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