ペアノ帰納法

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ある自然数nがあるとき、0 から nまでのすべての整数を合計は、\frac{n\times(n+1)}{2}である。

（証明）
\left(0+1+2+3+\cdots +n\right) = \frac{n\times(n+1)}{2}　を仮定し、\left(n+1\right)を代入する

\frac{n\times(n+1)}{2}+\left(n+1\right) = \frac{\left(n+1\right)\times\left(\left(n+1\right)+1}{2}

両辺を展開して、

\frac{n^{2}+n}{2}+\left(n+1\right) = \frac{n^{2}+3n+2}{2}

分母を揃え

\frac{n^{2}+n+2n+2}{2} = \frac{n^{2}+3n+2}{2}

左辺を整理すると

\frac{n^{2}+3n+2}{2} = \frac{n^{2}+3n+2}{2}