数列の問題

Posted by

ある規則でならぶ下記の数列

\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4}\cdots

の80番目までの和を求めよ。

分母毎のグループの個数に注目すると、1,2,3,4,\cdotsであるので、分母が4の最後（\frac{4}{4}）は数列の10番目（1+2+3+4=10）であることがわかる。同様に、1+2+3+\cdots +12=78 であるから数列の78番目は\frac{12}{12}、79番目は\frac{1}{13}、80番目は\frac{2}{13}である。

したがって、求める数列の和は\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\cdots +\frac{11}{12}+\frac{12}{12}+\frac{1}{13}+\frac{2}{13} である。この数列を分母毎にグループにまとめると

1+1\frac{1}{2}+2+2\frac{1}{2}+\cdots 6\frac{1}{2}+\frac{1}{13}+\frac{2}{13}

の公差\frac{1}{2}の等差数列となる。したがって80番目までの和は、上記数列の12番目までの和に\frac{3}{13}を加えたものである。

ゆえに、80番目までの数列の和

    \begin{eqnarray*} S_{80}&=&\frac{12(1+6\frac{1}{2})}{2}+\frac{2}{13} \\ &=& 45 + \frac{2}{13} \\ &=& 45\frac{2}{13} \\ \end{eqnarray*}

となる。